Fichas de ejercicios de susesiones

Ficha de ejercicios de progresiones aritméticas

Ficha de ejercicios de progresiones geométricas

Ejercicios de suseciones.

1.Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5.
2.El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término.
3.Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a10 = 66.
4.El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término 20.
5.Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años?
6.Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días?
7.En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?
8.Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2.
9.El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión.
10.Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, halla el primer término.
11.Se tiene una cuba de vino que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vació la mitad del contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó el día 10 de octubre?

Funciones afines

Sistemas de ecuaciones. Método de igualación

Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por igualación

Sistemas de ecuaciones. Método de sustitución

Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por sustitución

Sistemas de ecuaciones. Método de reducción

Resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas por reducción.

Torre de Hanoi

Trata de poner todos los discos en la posición 2. La única regla es que nunca puede haber un dico sobre otro mas pequeño.

Examen de fracciones

>

Repasa las operaciones con fracciones con ematematicas

Operaciones con fracciones. Ejercicios en la página de ematematicas.

http://www.ematematicas.net/fracciones2.php?a=3

Operaciones con radicales

>

Cálculos con fracciones con wiris

>

Proporcionalidad y porcentajes

Actividades interactivas en Flash para repasar porcentajes y proporcionalidad.

Cálculo del valor de varios a partir del valor de uno
Identifica relaciones de proporcionalidad
Problemas de proporcionalidad directa
Problemas de proporcionalidad inversa
Porcentajes
Autoevaluación

Ertóstenes, el tamaño de la Tierra y el Albarregas V: Informe final

Ya ha pasado mas de un mes desde la realización de la experiencia y se acaba de publicar en www.astronomia2009.es el informe final de resultados. La verdad es que ha sido todo un exito en cuanto a la participación y en cuando al resultado obtenido en la medida.

A modo de resumen algunos datos:

Participación:
Centros inscritos: 930
Centros que finalmente participaron la experiencia: 639, de ellos 7 de fuera de España (Andorra, Marruecos, Italia, Francia, México (2) y Colombia. En Extremadura participaron 15 centros (11 de la provincia de Badajoz y 4 de Cáceres). Aquí tienes la relación completa.

Resultados:
Radio de la Tierra:
Dato oficial: 6.371 km
Resultado de la medida: 6.561 km
Error Absoluto: 190 km
Error Relativo: menos del 3 %
Circunferencia del Meridiano:
Dato oficial: 40.030 km
Resultado de la medida: 41224 km
Longitud de un arco de 1º: 114,5 km

Como veis todo un éxito. Mucho centros ya han manifestado su deseo de repetir la experiencia el próximo curso.

Eratóstenes, el tamaño de la Tierra y el Albarregas IV. Los cálculos

Para mayor sencillez y de forma mas similar a lo que hizo Eratóstenes, veremos los cálculos para medidas tomadas por dos observadores (o, como en este caso equipos) situados en dos puntos distintos del planeta.

Cada uno de los equipos debe calcular el ángulo de incidencia de los rayos solares sobre la horizontal:

tangente A = altura / sombra

En nuestro caso, el gnomon medía 106,2 cm y su sombra 77,8 cm, esto nos da el valor 1,36 para la tangente, con lo que la altura del sol a mediodía en Mérida era 53,77º.

Para poder medir el tamaño de la Tierra debemos contar al menos con los datos de otro equipo, uno de los que me ha enviado los datos es un instituto del País Vasco.

IES Albarregas Mérida	IES Aixerrota Getxo
Altura del Sol: 53,77º Mediodía solar local: 13 h 28 m Distancia al paralelo 40 N: -114 km	Altura del Sol: 49,5º Mediodía solar local: 13 h 17 m Distancia al paralelo 40 N: 375 km

Como vemos el tránsito se produce antes en Getxo que en Mérida, esto se debe a que Getxo está mas al Este que Mérida y, visto desde la Tierra, el Sol se mueve de Este a Oeste.

La diferencia entre los dos ángulos nos el ángulo que las verticales de ambos lugares forman en el centro de la Tierra:

53,77º - 49,5º = 4,27º

Ese ángulo se corresponde con la distancia Norte - Sur entre ambas observaciones:

375 km + 114 km = 489 km

Una sencilla regla de tres nos permite conocer la distancia que se corresponde con 360º o, lo que es lo mismo, la circunferencia de la Tierra:

4,27º se corresponden con 489 km
360º se corresponden con x km

Que nos da un valor de:

x = 360 · 489 / 4,27 = 40939 km

Conocida la circunferencia de la Tierra podemos determinar su radio a partir de la conocida expresión: L = 2 · pi · R, lo que nos da un valor para el radio de la Tierra:

R = 6516 km

Eratóstenes, el tamaño de la Tierra y el Albarregas III. Los resultados globales

Con los datos de 460 centros participantes en toda España (y algunos fuera de ella) hay un primer resultado de este experimento colectivo. El esfuerzo de miles de estudiantes nos llevado a esto:

Resultados:
Circunferencia de la Tierra = 37659 km
Radio de la Tierra = 5994 km

Datos reales:
Circunferencia de la Tierra = 40000 km
Radio de la Tierra = 6371 km

¿Y ese resultado se corresponde con la realidad? Bueno pues es un resultado mas que aceptable. El error cometido es de de poco mas de 2000 Km que parece mucho es tan solo del 7%. Teniendo en cuenta los "costosísimos" recursos empleados en la medida no está nada mal.

Eratóstenes, el tamaño de la Tierra y el Albarregas II. Las fotos del evento.

Se me había olvidado publicar las fotos. Parte del grupo medía la sombra del gnomon cada cierto tiempo y otra parte del grupo medía la del instituto para comparar resultados y de paso medir la altura del edificio. Mientras tanto Azucena sacaba unas fotos.

Eratóstenes, el tamaño de la Tierra y el Albarregas

Eratóstenes fue un sabio griego que vivió hace mas de 2000 años en Alejandría, localidad situada en el actual Egipto. Era lo que podemos llamar un sabio, pues destacó en muchas ramas del saber. Hoy le recordamos por ser el primero en medir el tamaño de la Tierra, en una época en la muchas personas no se planteaban que pudiese no ser plana Eratóstenes demostró que era esférica y además calculó su radio con gran precisión. Los mas sorprendente de su hallazgo fueron los recursos con los que contaba. Hoy en día disponemos de satélites, rayos láser, navegadores GPS y un incontable arsenal de cachivaches tecnológicos, Eratóstenes solamente usó las sombras de los objetos que veía a su alrededor... y la curiosidad de preguntarse el porqué.

El día del solsticio de verano, durante un viaje a Siena, pudo observar como la luz del Sol se reflejaba en el fondo de un pozo profundo y que un obelisco vertical no proyectaba ninguna sombra., es decir el Sol se encontraba exactamente sobre la vertical del lugar. Este hecho curioso y aparentemente sin importancia le llamó la atención y despertó su curiosidad ¿sucedería lo mismo en otros lugares? Al comprobar que en Alejandría esto no sucedía entendió que la Tierra no podía ser una superficie plana ya que, en tal caso, los rayos del Sol llegarían de forma paralela a ambos lugares. Asumiendo que la Tierra es redonda le bastó con medir la sombra de un palo vertical en Siena el mediodía del solsticio de verano para llegar a la conclusión que las verticales de Siena y Alejandría formaban un ángulo de 7º. Conocía la distancia entre ambos puntos que era de unos 5000 estadios (unidad de longitud usada en la época, en términos actuales son unos 800 Km). Sabiendo que los 7º se corresponden a los 800 Km mediante una sencilla regla de tres podemos saber a cuantos kilómetros se corresponden los 360º. Obtuvo una solución muy cercana a los 40000 Km que admitimos hoy en día. ¡Y solamente midiendo la sombra de un palo!

¿Y a cuento de qué hablamos hoy de Eratóstenes? Os explico: la ONU ha declarado el año 2009 como Año Internacional de la Astronomía, con este motivo se están organizando actividades en todo el mundo. En nuestro país una de las actividades propuestas para los centros de secundaria consiste en reproducir la experiencia de Eratóstenes midiendo el mismo día la sombra de un gnomon (palabra técnica para llamar al palo vertical que proyecta la sombra). Institutos de toda España participan en la experiencia y, como no podía ser de otra forma, nuestro Albarregas es uno de ellos. El mismo día se ha medido la altura del Sol a mediodía desde diferentes puntos, los datos obtenidos por cada equipo y la distancia de cada uno de los equipos a un lugar de referencia (en este caso el paralelo 40º) permitirán conocer el radio de la Tierra por el método de Eratóstenes y, de paso, repasar conceptos de Trigonometría, Astronomía, etc...

Televisión Española se ha interesado por esta actividad y ha venido al nuestro instituto a hacer un breve reportaje para el Canal 24 Horas, en este evento han participado mas 800 centros de toda España y TVE informa sobre él desde el Albarregas.

http://www.youtube.com/watch?v=lXpPm9ZogEw

Aplicación práctica de la Trigonometría. Midiendo la altura del Instituto

Para medir la altura de un edificio sin necesidad de subirnos al tejado necesitamos:

• Cuadrante
• Cinta métrica.
• Metro.

Procederemos de la siguiente forma.

Un observador se coloca a una distancia conocida del pide del edificio (25 m, por ejemplo) y mide el ángulo visual con el que se observa la parte superior del edificio. Conocido dicho ángulo (21º) podemos calcular la parte de la altura que queda por encima de los ojos del observador aplicando al definción de la tangente:

tangente 21º = cateto opuesto / cateto contiguo
tangente 21º = cateto opuesto / 25
cateto opuesto = 25 * tangente 21º = 9,45 m

Para finalizar el cálculo debemos añadir al valor obtenido la altura de los ojos del observador respecto al suelo, siendo esa altura de 1,55 m.

Altura edificio = 9,45 m + 1,55 m = 11 m

Resolución de triángulos rectángulos

Página de ematemáticas donde puedes revisar la resolución de triángulos rectángulos.

Para resolver triángulos rectángulos debes saber:

• El Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".

• Definciones de las razones trigonométricas:

Sen A = Cateto opuesto / Hipotenusa

Cos A = Cateto contiguo / Hipotenusa

Tan A = Cateto opuesto / Cateto contiguo

• La suma de los ángulos de un triángulo es 180º. En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos no rectos es 90º.
  

Pueden darse dos casos:

• Si conocemos dos lados debes aplicar el Teorema de Pitágoras:, después deberás aplicar las definiciones de las razones trigonométricas para calcular los ángulos

Pincha aquí para resolver triángulos rectángulos de los conoces dos lados

• Si conoces un lado y un ángulo distinto del ángulo recto deberás usar las definciones de las razones trigonométricas.

Pincha aquí para resolver triángulos rectángulos conociendo un lado y un ángulo no recto

Álgebra visual

Muy simple: se trata de averiguar cuanto vale cada figura. Está tomado de la página de www.educaplus.org

Ver en una nueva ventana